Как определить, какое из этих чисел больше: два квадратных корня из 75 или три кубических корня из 45?

Разъяснение: Для сравнения двух чисел, представленных в виде корня, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдём НОК знаменателей корней.

$75 = 3 cdot 5^2$

$45 = 3^2 cdot 5$

НОК$(75,45) = 3^2 cdot 5^2 = 225$

Теперь приведём числа к общему знаменателю:

$2 sqrt{75} = 2 sqrt{3 cdot 5^2} = 2 cdot 5 sqrt{3} = 10 sqrt{3}$

$3 sqrt[3]{45} = 3 sqrt[3]{3^2 cdot 5} = 3 cdot sqrt[3]{3^2} cdot sqrt[3]{5} = 9 sqrt[3]{5}$

Таким образом, мы получили, что $10 sqrt{3} > 9 sqrt[3]{5}$.

Пример использования: Решить неравенство $sqrt{a} + 2 > 3$, где $a$ — целое число.

Совет: При сравнении корней всегда необходимо привести их к общему знаменателю.

Задание: Найдите, какое число больше: $2 sqrt[4]{27}$ или $3 sqrt[3]{8}$.