Какая третья координата орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x-y^2-z) убывает быстрее всего в точке m(1; 1

Объяснение:
Для решения данной задачи, мы должны использовать концепцию градиента функции. Градиент функции показывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Так как мы ищем направление, в котором функция убывает наиболее быстро, нам нужно определить противоположное направление градиента.

Для того, чтобы найти градиент функции, мы должны взять частные производные функции по каждой из координат (x, y, z) и записать их векторно, учитывая знаки. Градиент векторной функции u = (u₁, u₂, u₃) находится следующим образом:

grad(u) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

В данном случае, функция u = 3^(x-y²-z). Продифференцируем ее по каждой координате:

∂u/∂x = 3^(x-y²-z) * ln(3)
∂u/∂y = -2y * 3^(x-y²-z) * ln(3)
∂u/∂z = -3^(x-y²-z) * ln(3)

Теперь, найдем градиент функции в точке (1, 1, -1), подставив значения координат в полученные частные производные функции. Градиент будет иметь вид:

grad(u) = (3^(1-1²-(-1)) * ln(3), -2*1 * 3^(1-1²-(-1)) * ln(3), -3^(1-1²-(-1)) * ln(3))

Сокращаем выражение и получаем:

grad(u) = (3 * ln(3), -2 * 3 * ln(3), -3 * ln(3))

Таким образом, вектор, указывающий направление, в котором функция u = 3^(x-y²-z) убывает быстрее всего в точке m(1; 1; –1), равен (-3 * ln(3), 6 * ln(3), 3 * ln(3)).

Пример использования: Поставим следующую задачу на практику: Найдите вектор, указывающий направление наименьшего убывания функции f(x, y, z) = e^(x+y²+z) в точке m(2; -1; 0).

Совет: Для лучшего понимания градиента функции и его связи с направлением убывания функции, рекомендуется познакомиться с теорией векторного анализа и градиентом функции.

Упражнение: Найдите вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции g(x, y, z) = x^2 — 2y + 3z в точке m(1; -2; 1).