Какая высота конуса при радиусе его основы 12 см и угле при вершине осевого сечения 120°?

Разъяснение: Чтобы найти высоту конуса, есть несколько подходов. Один из способов — использовать теорему косинусов для нахождения длины боковой поверхности конуса и затем применить основное свойство конуса — отношение высоты к радиусу основания всегда равно тангенсу угла между высотой и образующей конуса.

Рассмотрим данную задачу. У нас есть радиус основания конуса, который равен 12 см, и угол при вершине осевого сечения, который равен 120°.

Сначала найдем длину образующей конуса. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

a² = b² + c² — 2bc * cos(A)

где a — длина образующей, b и c — стороны треугольника, A — угол между сторонами b и c.

В осевом сечении у нас получается прямоугольный треугольник, где сторона b равна радиусу основания, то есть 12 см, сторона c равна половине образующей (поскольку осевое сечение делит образующую конуса пополам) и угол А — 60° (так как он равен половине угла осевого сечения, который равен 120°).

Теперь мы можем записать нашу формулу:

a² = 12² + (a/2)² — 2 * 12 * (a/2) * cos(60°)

После решения этого уравнения, найдем длину образующей.

Теперь, применим отношение высоты к радиусу основания:

h/r = tan(60°)

И мы можем найти высоту, зная радиус и длину образующей.

Пример использования: Вычислите высоту конуса при радиусе его основы 12 см и угле при вершине осевого сечения 120°.

Совет: При решении подобного рода задач, убедитесь, что все углы указаны в одной системе измерения (радианы или градусы). Если вам даны углы в градусах, а формулы работают в радианах, преобразуйте углы в радианы, используя соответствующие конверсионные формулы.

Упражнение: При радиусе основания конуса 7 см и длине образующей 10 см, найдите высоту конуса.