Какое наименьшее число следует выбрать, чтобы при делении на него все числа 28, 15, 9, 31, 25, 40, 69
Пояснение: Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти такое наименьшее число, при делении на которое все указанные числа дают попарно различные остатки.
Для начала, рассмотрим числа, для которых мы должны найти остатки: 28, 15, 9, 31, 25, 40, 69. Для того чтобы остатки были попарно различны, они не должны быть равными.
Для каждого числа мы будем пробовать различные потенциальные делители и проверять результат деления на остальные числа. Если найдется число, при котором все остатки будут различными, то это и будет искомое наименьшее число.
Исходя из условия задачи, мы должны выбрать такое число, чтобы получилось следующее:
28 % x ≠ 15 % x ≠ 9 % x ≠ 31 % x ≠ 25 % x ≠ 40 % x ≠ 69 % x, где x — наш искомый делитель.
Пробуем различные числа в качестве делителей и смотрим, будут ли остатки различными:
При делителе x = 2, получаем остатки: 28 % 2 = 0, 15 % 2 = 1, 9 % 2 = 1, 31 % 2 = 1, 25 % 2 = 1, 40 % 2 = 0, 69 % 2 = 1.
Видим, что остатки не являются попарно различными.
При делителе x = 3, получаем остатки: 28 % 3 = 1, 15 % 3 = 0, 9 % 3 = 0, 31 % 3 = 1, 25 % 3 = 1, 40 % 3 = 1, 69 % 3 = 0.
Видим, что остатки также не являются попарно различными.
Продолжая этот процесс, мы приходим к числу x = 7, при котором все остатки будут различными:
28 % 7 = 0, 15 % 7 = 1, 9 % 7 = 2, 31 % 7 = 3, 25 % 7 = 4, 40 % 7 = 5, 69 % 7 = 6.
Таким образом, наименьшее число, которое следует выбрать, чтобы при делении на него все числа 28, 15, 9, 31, 25, 40, 69 давали попарно различные остатки, равно 7.
Пример использования:
Задача: Какое наименьшее число следует выбрать, чтобы при делении на него все числа 35, 21, 17, 42, 28 давали попарно различные остатки?
Решение: Рассмотрим потенциальные делители и проверим остатки для каждого числа:
При делителе x = 2, получим остатки: 35 % 2 = 1, 21 % 2 = 1, 17 % 2 = 1, 42 % 2 = 0, 28 % 2 = 0. Остатки не являются попарно различными.
При делителе x = 3, получим остатки: 35 % 3 = 2, 21 % 3 = 0, 17 % 3 = 2, 42 % 3 = 0, 28 % 3 = 1. Остатки также не попарно различны.
Продолжаем этот процесс и приходим к числу x = 5, при котором получаем попарно различные остатки: 35 % 5 = 0, 21 % 5 = 1, 17 % 5 = 2, 42 % 5 = 2, 28 % 5 = 3.
Ответ: Наименьшее число, чтобы все числа 35, 21, 17, 42, 28 давали попарно различные остатки, равно 5.
Совет: Для решения данной задачи мы использовали метод проб и ошибок. Чтобы более быстро найти делитель, можно выбирать делители сначала из простых чисел и проверять их поочередно. Также полезно знать основные свойства деления и остатков, чтобы облегчить решение подобных задач.
Упражнение: Найдите наименьшее число, при делении на которое все числа 12, 18, 24, 26, 36 дадут попарно различные остатки.