Какой будет наименьший угол между плоскостью α, перпендикулярной прямой A1C1, и плоскостью β, параллельной прямой

Объяснение: Для решения этой задачи нам понадобится знание о геометрических свойствах плоскостей и прямых в трехмерном пространстве.

Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой A1C1, вектор нормали к плоскости α будет перпендикулярен вектору направления прямой A1C1. Аналогично, плоскость β параллельна прямой CD1, поэтому вектор нормали к плоскости β будет параллелен вектору направления прямой CD1.

В прямоугольной системе координат с осями x, y и z обозначим направление вектора A1C1 через вектор AB(1, 0, 0), а направление вектора CD1 через вектор CD(1, 0, 0).

Теперь вычислим вектory нормалей к плоскостям α и β. Нормаль к плоскости можно найти, вычислив векторное произведение любых двух ненулевых векторов, принадлежащих плоскости. В данном случае, возьмем направляющие векторы отрезка BC и CD, то есть BC(-1, 1, 0) и CD(1, -1, 0).

Вычисляя векторное произведение векторов BC и CD, получим вектор нормали N1 = BC × CD = (0, 0, -2). Этот вектор нормали будет перпендикулярен плоскости α.

Точно так же вычислим векторное произведение векторов C1D1 и BC, чтобы получить нормаль к плоскости β. В данном случае, BC(-1, 1, 0) и C1D1(0, 1, -1). Следовательно, N2 = BC × C1D1 = (-1, -1, -1).

Теперь найдем косинус угла между плоскостями α и β, используя формулу косинуса угла между векторами:

cosθ = (N1·N2) / (|N1|·|N2|),

где N1·N2 — скалярное произведение векторов N1 и N2, |N1| — длина вектора N1, |N2| — длина вектора N2.

Вычислив значения, получим:

cosθ = (0·(-1) + 0·(-1) + (-2)·(-1)) / (sqrt(0^2 + 0^2 + (-2)^2)·sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2)) = 2 / (2·sqrt(3)) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3.

Теперь, чтобы найти сам угол, возьмем обратный косинус найденного значения. Таким образом, угол между плоскостями α и β равен:

θ = arccos(sqrt(3) / 3).

Пример использования:
Задача: Какой будет наименьший угол между плоскостью α, перпендикулярной прямой A1C1, и плоскостью β, параллельной прямой CD1, в кубе ABCDA1B1C1D1?

Ответ: Наименьший угол между плоскостями α и β равен arccos(sqrt(3) / 3).

Совет: Для лучшего понимания геометрических свойств плоскостей и прямых в трехмерном пространстве рекомендуется изучить соответствующие геометрические понятия и принципы решения задач такого типа.

Упражнение: Найдите наименьший угол между плоскостью α, перпендикулярной прямой B1D, и плоскостью β, параллельной прямой A1D, в том же кубе ABCDA1B1C1D1.