Какой радиус алой окружности, вписанной в равнобедренный треугольник со стороной 13 см и основанием 10 см?
Инструкция: Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством вписанной окружности в равнобедренный треугольник. Разберемся пошагово:
1. Определим высоту треугольника, которая одновременно является биссектрисой его угла. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса будет также служить медианой и высотой. Так как основание треугольника равно 10 см, разделим его пополам, получим отрезок длиной 5 см.
2. Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания треугольника, высотой и радиусом окружности. Получим следующее уравнение: (5 см)^2 + h^2 = (радиус + h)^2. Раскроем скобки, упростим и получим уравнение: 25 см^2 + h^2 = радиус^2 + 2р*р + h^2.
3. Заметим, что высота h и радиус r окружности, проведенной в треугольник, являются одним и тем же отрезком. Таким образом, h = r. Заменим h на r в полученном уравнении и получим 25 см^2 = радиус^2 + 2р*р.
4. Теперь задача сводится к нахождению значения радиуса. Вычтем из обеих сторон уравнения 2r^2 и получим 25 см^2 — 2р^2 = радиус^2. Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить.
5. Решим уравнение. 25 см^2 — 2р^2 = радиус^2. Перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить квадратное уравнение: радиус^2 + 2р^2 — 25 см^2 = 0. Используя формулу дискриминанта, вычислим радиус окружности, получим 7 см.
Таким образом, радиус алой окружности, вписанной в равнобедренный треугольник со стороной 13 см и основанием 10 см, равен 7 см.
Совет: Чтобы более полно понять это свойство и научиться решать подобные задачи, рекомендуется внимательно изучить геометрию, особенно разделы о треугольниках и окружностях.
Задание для закрепления: В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине A вписана окружность с радиусом 5 см. Определите длину основания треугольника, если радиус вписанной окружности, проведенной к стороне AC, равен 3 см.