Какова длина основания AD в прямоугольной трапеции ABCD (BC ║ AD), где ∠A — прямой, BC = a, угол BCD в 2 раза

Какова длина основания AD в прямоугольной трапеции ABCD (BC ║ AD), где ∠A — прямой, BC = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA, а диагональ BD — биссектриса ∠CDA?
Тема: Решение прямоугольной трапеции

Объяснение: Прямоугольная трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна (BC ║ AD) и у которого один угол прямой (∠A). Мы хотим найти длину основания AD.

У нас дано, что BC = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA и что диагональ BD является биссектрисой угла CDA.

Для решения этой задачи мы можем использовать следующий подход:

1. Обозначим длину AD как х.
2. Из условия параллельности сторон трапеции, мы знаем, что угол CDA и угол BCD являются смежными углами, значит, их сумма равна 180 градусам: ∠CDA + ∠BCD = 180°.
3. Известно, что угол BCD в 2 раза больше угла CDA, поэтому можно записать уравнение: ∠BCD = 2∠CDA.
4. Подставим значение угла BCD в уравнение из пункта 2: 2∠CDA + ∠CDA = 180°.
5. Сложим коэффициенты при ∠CDA и получим: 3∠CDA = 180°.
6. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение ∠CDA: ∠CDA = 180° / 3 = 60°.
7. Теперь мы знаем значение угла CDA, угол CDA равен половине угла BCD, значит ∠BCD = 2 * 60° = 120°.
8. В треугольнике BCD углы BCD и BDC являются смежными углами, значит их сумма равна 180 градусам: ∠BCD + ∠BDC = 180°.
9. Подставим значение ∠BCD: 120° + ∠BDC = 180°.
10. Выразим ∠BDC: ∠BDC = 180° — 120° = 60°.
11. Так как основание AD является стороной треугольника ACD, то ∠CDA = ∠BDC.
12. Получаем уравнение: 60° = 60°.
13. Это значит, что треугольник ACD является равнобедренным и стороны AD и CD равны между собой.
14. То есть, AD = CD = х.
15. Теперь мы можем записать уравнение основываясь на основание треугольника ABCD: a + х + х = 180°.
16. Упростим уравнение: 2х + a = 180°.
17. Выразим х: 2х = 180° — a.
18. Разделим обе части уравнения на 2: х = (180° — a) / 2.
19. Ответ: Длина основания AD в прямоугольной трапеции равна (180° — a) / 2.

Пример использования: Если длина стороны BC равна 5 cm, то какова длина основания AD в прямоугольной трапеции ABCD?

Совет: Важно помнить, что прямоугольные трапеции имеют параллельные стороны и один угол прямой. Анализируйте условие задачи и будьте внимательны при вычислениях углов и сторон.

Упражнение: В прямоугольной трапеции ABCD (BC ║ AD), у которой ∠A = 90°, длина стороны BC равна 10 cm и угол BCD в 3 раза больше угла CDA, найдите длину основания AD.

Твой друг не знает ответ? Расскажи!