Какова максимальная сумма цифр в записи значения выражения (3+2*4^x) *4^x+3+4^y, если x и y — натуральные
Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно выразить заданное значение выражения в системе счисления с основанием 4 и найти максимальную сумму цифр этого значения.
Давайте рассмотрим выражение (3+2*4^x) *4^x+3+4^y и пошагово решим задачу:
1. Распишем выражение (3+2*4^x) *4^x+3+4^y:
(3+2*4^x) *4^x+3+4^y = (3*4^x + 2*4^(2x)) + (4^x+3) + 4^y
2. Преобразуем каждое слагаемое в систему счисления с основанием 4:
(3*4^x + 2*4^(2x)) + (4^x+3) + 4^y = (3*4^x + 2*16^x) + (4^x+3) + 4^y
3. Упростим выражение, используя свойства степеней:
(3*4^x + 2*16^x) + (4^x+3) + 4^y = (3*4^x + 2*(4^x)^2) + (4^x+3) + 4^y
(3*4^x + 2*(4^x)^2) + (4^x+3) + 4^y = 3*4^x + 2*4^(2*x) + 4^x + 3 + 4^y
4. Объединяем все слагаемые:
3*4^x + 2*4^(2*x) + 4^x + 3 + 4^y = 4^x(3+1) + 2*4^(2*x) + 3 + 4^y
4^x(3+1) + 2*4^(2*x) + 3 + 4^y = 4^x*4 + 2*4^(2*x) + 3 + 4^y
5. Выражаем значение выражения в системе счисления с основанием 4:
4^x*4 + 2*4^(2*x) + 3 + 4^y = 4^(x+1) + 2*4^(2*x) + 3 + 4^y
6. Находим максимальную сумму цифр значения выражения:
Так как все числа в записи выражения представлены в системе счисления с основанием 4, максимальная сумма цифр будет равна сумме максимальных цифр в каждом числе. В случае системы счисления с основанием 4, максимальная цифра это 3. Таким образом, максимальная сумма цифр в записи значения выражения равна 3 + 3 + … + 3 (k раз, где k — количество чисел в выражении). В нашем случае к = 4, поэтому максимальная сумма цифр будет равна 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Пример использования:
Выражение (3+2*4^x) *4^x+3+4^y записано в системе счисления с основанием 4. Найдите максимальную сумму цифр этого значения.
Совет: Для работы с задачами, связанными с системами счисления, помните, что в каждой позиции числа в системе счисления с основанием n можно использовать числа от 0 до (n-1). Разбейте выражение на отдельные слагаемые и преобразуйте каждое из них в систему счисления с основанием 4.
Упражнение:
Найдите максимальную сумму цифр в записи значения выражения (2+3*4^x) *4^x+2+4^y, если x и y — натуральные числа, и это значение записано в системе счисления с основанием 4.