Каково решение уравнения cosx+2cos(2x-п/3)=√3sin2x-1?

Разъяснение:

Для решения данного уравнения нам понадобится использовать несколько тригонометрических формул. Давайте разберемся по шагам:

1. Раскроем косинус суммы углов во втором слагаемом:

cos(2x — п/3) = cos2x*cos(п/3) + sin2x*sin(п/3) = 1/2*cos2x + √3/2*sin2x

Таким образом, уравнение примет вид:

cosx + cos2x + √3*sin2x/2 = √3*sin2x + 1

2. Перенесем все слагаемые синуса на одну сторону уравнения:

cosx + cos2x — √3*sin2x/2 — √3*sin2x — 1 = 0

3. Заменим косинусы суммы углов на произведения косинусов и синусов:

cosx + (cos2x*cosп/3 — sin2x*sinп/3) — √3/2*sin2x — √3*sin2x — 1 = 0

4. Раскроем косинус п/3:

cosx + (cos2x/2 — √3/2*sin2x) — √3/2*sin2x — √3*sin2x — 1 = 0

cosx + cos2x/2 — 2√3/2*sin2x — 1 = 0

5. Заменим косинусы на соответствующие им тригонометрические функции:

sin(п/2 — x) + cos2x/2 — 2√3/2*sin2x — 1 = 0

6. Раскроем косинус двойного угла:

sin(п/2 — x) + 2cos^2x — 1 — 2√3*sinx*cosx — 1 = 0

7. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2cos^2x — 2√3*sinx*cosx + sin(п/2 — x) — 2 = 0

8. Заменим синус разности углов на произведение синуса и косинуса:

2cos^2x — 2√3*sinx*cosx + cosx — sinx — 2 = 0

9. Раскроем квадрат косинуса:

2(1 — sin^2x) — 2√3*sinx*cosx + cosx — sinx — 2 = 0

10. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin^2x + 2√3*sinx*cosx — cosx + sinx + 2 = 0

11. Заменим синус и косинус на соответствующие им тригонометрические функции:

2sinx(sin x + √3*cos x) — cos x + sin x + 2 = 0

12. Решим уравнение относительно sin x:

sin x = (1 — 2)/(2 + 2√3)