Каковы наибольшее и наименьшее значение функции [tex]y = ln(2x — 1) + 2ln(8 — x)[/tex] в интервале [1; 7]?

Объяснение: Для решения этой задачи нам необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции y = ln(2x — 1) + 2ln(8 — x) на заданном интервале [1; 7].

Для начала найдем производную функции y по переменной x. Производная функции ln(x) равна 1/x, поэтому

d/dx [ln(2x — 1)] = 1/(2x — 1) * 2 = 2/(2x — 1),

d/dx [2ln(8 — x)] = 2/(8 — x) * (-1) = -2/(8 — x).

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует:

2/(2x — 1) — 2/(8 — x) = 0.

Решая это уравнение, мы получаем x = 4.5.

Теперь проверим значения функции на краевых точках интервала [1; 7]:

y(1) = ln(2*1 — 1) + 2ln(8 — 1) = ln(1) + 2ln(7) = 0 + 2ln(7) = 2ln(7),

y(7) = ln(2*7 — 1) + 2ln(8 — 7) = ln(13) + 2ln(1) = ln(13) + 0 = ln(13).

Теперь остается сравнить значения функции в найденных точках (критическая точка и краевые точки):

y(1) = 2ln(7) ≈ 3.465,

y(4.5) =?

y(7) = ln(13) ≈ 2.564.

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [1; 7] это ln(13) ≈ 2.564, а наибольшее значение функции это 2ln(7) ≈ 3.465.

Совет: Для успешного решения задач подобного рода, важно знать определение функций и их свойства. Также полезно быть знакомым с методами дифференцирования и нахождения критических точек функции. В данном случае использование производных помогает с легкостью найти точки, где функция достигает своих экстремумов.

Упражнение: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = ln(x) на интервале [1; 5].