Каковы признаки подобия треугольников по рисунку 1? В частности, ответьте на следующие вопросы: а) Как доказать, что
а) Как доказать, что AO:OS = BO:OD?
б) Если OD = 15 см, OB = 9 см и CD = 25 см, как найти AB?
в) Какое отношение площадей треугольников ABC и KMN, если AB = 8 см, AS = 12 см, AC = 16 см, KM = 10 см, MN = 15 см и NK = 20 см?
г) Найти периметр треугольника ВМК при условии, что прямая МК параллельна AC, и BM:AM = 1:4?
д) Найти периметр треугольника BMK, если периметр треугольника ABC равен 25 см.
е) В трапеции ABCD с основаниями AD и BC (диагонали пересекаются в точке O), AD = 12 см и BC = 4 см. Как найти площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см²?
Разъяснение:
Два треугольника называются подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Для доказательства подобия треугольников по рисунку 1 необходимо выполнить следующие шаги:
а) Чтобы доказать, что AO:OS = BO:OD, мы применим теорему о пропорциональности биссектрис треугольника. Если точка O — точка пересечения биссектрис треугольника, то AO делит сторону СК пропорционально своей длине с ОS, а ребро БМ — пропорционально BO с ОD.
б) Если OD = 15 см, OB = 9 см и CD = 25 см, чтобы найти AB, применим теорему о пропорциональности биссектрис. Зная, что BO:OD = AB:CD, подставим значения и решим уравнение: 9:15 = AB:25 и найдем AB.
в) Чтобы найти отношение площадей треугольников ABC и KMN, нужно узнать соотношение их сторон. Зная, что AB:KM = AS:KN, AC:MN исходя из данных задачи, мы можем решить это уравнение и определить соотношение площадей.
г) Для нахождения периметра треугольника ВМК, когда МК параллельна АС и BM:AM = 1:4, мы можем использовать теорему Талесса и отношение боковых сторон треугольников.
д) Для нахождения периметра треугольника ВМК, если периметр треугольника ABC равен 25 см, нужно знать соотношение сторон треугольников, чтобы найти отношение периметров и выразить периметр треугольника ВМК.
е) Чтобы решить задачу трапеции ABCD, с основаниями AD и BC, мы можем использовать теорему о пропорциональности катетов или теорему о пропорциональности диагоналей трапеции.
Пример использования:
а) Для доказательства, что AO:OS = BO:OD, мы можем использовать теорему о пропорциональности биссектрис треугольника. Проведем биссектрису угла С, пересекающую СК в точке О. Теперь мы можем сравнить отношение AO к ОS с отношением BO к ОD и убедиться, что они равны.
Совет:
При решении задач о подобии треугольников всегда обращайте внимание на соотношение углов и сторон треугольников. Используйте соответствующие теоремы и теорему Талесса для решения задач.
Упражнение:
В треугольнике ABC провели биссектрисы углов А и С, пересекающие сторону ВС в точках D и E соответственно. Если AB:BD = 5:3 и АC:CE = 7:2, найдите отношение BC:DE.