Математика, в ответе верните только текст: Какие утверждения правильны для данной системы m линейных уравнений с n
a) Если n>m, то система имеет хотя бы одно решение.
б) Если m>n, то система не имеет решений.
в) Если система имеет хотя бы одно решение, то p=k.
г) Если p=k и n>k, то система имеет бесконечное множество решений.
Объяснение: Для данной системы m линейных уравнений с n неизвестными, где ранг матрицы системы равен k, а ранг расширенной матрицы системы равен p, следующие утверждения верны:
а) Если n > m, то система имеет хотя бы одно решение. Данное утверждение верно. Когда n > m, есть больше неизвестных, чем уравнений, и потому есть возможность для существования хотя бы одного решения.
б) Если m > n, то система не имеет решений. Данное утверждение неверно. Когда m > n, есть больше уравнений, чем неизвестных, и система может иметь как одно решение, так и бесконечное количество решений, в зависимости от свойств этих уравнений.
в) Если система имеет хотя бы одно решение, то p = k. Данное утверждение верно. Ранг расширенной матрицы системы равен p и ранг матрицы системы равен k. Если система имеет хотя бы одно решение, это означает, что ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, то есть p = k.
г) Если p = k и n > k, то система имеет бесконечное множество решений. Данное утверждение верно. Когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, есть возможность для бесконечного множества решений, если количество неизвестных больше, чем ранг системы.
Пример использования:
Задана система уравнений:
x + y = 3
2x + 3y = 7
Ранг матрицы системы равен 2, ранг расширенной матрицы равен 2. Убедимся в правильности утверждений:
а) n = 2(количество неизвестных) > m = 1(количество уравнений). Система имеет хотя бы одно решение (верно).
б) m=1 > n=2. Условие не выполняется, поэтому решение может быть.
в) Система имеет хотя бы одно решение, следовательно p=k. В нашем случае p=k=2 (верно).
г) p=k=2, n > k=2. Система имеет бесконечное множество решений (верно).
Совет: Для более глубокого понимания систем линейных уравнений, рекомендуется изучить методы решения таких систем, например, метод Гаусса или метод Крамера. Также полезно понять понятия ранга матрицы и ранга расширенной матрицы для системы линейных уравнений.
Упражнение:
Найдите решение следующей системы уравнений:
x + 2y + z = 6
2x — y + 3z = 10
3x + y + 4z = 17