Найдите длину AD, биссектрисы угла BAC, в треугольнике ABC с вершинами в точках A(4,1), B(7,5) и

A(4,1)

B(7,5)

C(-4,7)

Решение:

1. Найдем длину сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

a) Длина стороны AB: AB = √[(x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2]

AB = √[(7-4)^2 + (5-1)^2] = √[3^2 + 4^2] = √[9 + 16] = √25 = 5

b) Длина стороны BC: BC = √[(x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2]

BC = √[(-4-7)^2 + (7-5)^2] = √[(-11)^2 + 2^2] = √[121 + 4] = √125 = 5√5

c) Длина стороны AC: AC = √[(x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2]

AC = √[(-4-4)^2 + (7-1)^2] = √[(-8)^2 + 6^2] = √[64 + 36] = √100 = 10

2. Применим формулу для нахождения длины биссектрисы AD в треугольнике ABC:

AD = (2 * AB * AC * cos(A/2))/(AB + AC)

Где A — угол, образованный сторонами AB и AC.

a) Найдем значение угла A:

Используем теорему косинусов:

cos(A) = (BC^2 + AC^2 — AB^2)/(2 * BC * AC)

cos(A) = (5√5^2 + 10^2 — 5^2)/(2 * 5√5 * 10)

cos(A) = (125 + 100 — 25)/(100√5)

cos(A) = 200/(100√5) = 2/√5

A = arccos(2/√5) ≈ 0.7854 радиан ≈ 45°

b) Подставим значения в формулу для нахождения AD:

AD = (2 * 5 * 10 * cos(45°/2))/(5 + 10)

= (100 * cos(22.5°))/(15)

≈ 94.93/15

≈ 6.33

Таким образом, длина AD, биссектрисы угла BAC, в треугольнике ABC равна приблизительно 6.33.

Совет: Для решения задач, связанных с декартовой системой координат, полезно визуализировать треугольник и обозначать каждую вершину и ее координаты. Это позволит лучше понять геометрическую ситуацию и применить соответствующие формулы.

Практика: Найдите длину биссектрисы угла BAC в треугольнике с вершинами A(2, 4), B(-1, 3) и C(4, -2).