Найдите корень уравнения: 2arcsin(2x) — arcsin(x) — 6 = 0. Выберите правильный вариант ответа: 1. -sin(1,5) 2. -sin(1,2) 3

Разъяснение: Для решения данного тригонометрического уравнения мы будем использовать обратные тригонометрические функции и алгебраические преобразования. Дано уравнение: 2arcsin(2x) — arcsin(x) — 6 = 0.

1. Приведем уравнение к виду, где одна обратная тригонометрическая функция находится в левой части уравнения: arcsin(2x) = (arcsin(x) + 6)/2.

2. Используя тригонометрическое тождество sin(arcsin(y)) = y, получаем: 2x = sin((arcsin(x) + 6)/2).

3. Применим обратную функцию sin(x) = arcsin(x) и получим: 2x = sin(arcsin(x + 6)/2).

4. Раскроем функцию arcsin(x/2) с помощью тригонометрического равенства arcsin(x) + arcsin(y) = arcsin(x*sqrt(1 — y^2) + y*sqrt(1 — x^2)) и получим: 2x = x*sqrt(1 — (x + 6)^2/4) + (x + 6)*sqrt(1 — x^2).

5. Возводим уравнение в квадрат и приводим подобные: 4x^2 = x^2*(1 — (x + 6)^2/4)^2 + 2x(x + 6)*sqrt(1 — x^2) + (x + 6)^2*(1 — x^2).

6. Упростим уравнение и получим: 4x^2 = x^2*(1 — (x + 6)^2/4) + 2x(x + 6)*sqrt(1 — x^2) + (x + 6)^2*(1 — x^2).

7. Преобразуем полученное уравнение в квадратное: 3x^2 + 4x + 2 = 0.

8. Решим полученное квадратное уравнение и найдем корни: x = -1/3 или x = -2/3.

Пример использования: Найдите корень уравнения: 2arcsin(2x) — arcsin(x) — 6 = 0.

Совет: При решении тригонометрических уравнений используйте тригонометрические тождества и алгебраические преобразования, чтобы привести уравнение к более простому виду.

Упражнение: Решите уравнение sin(2x) — cos(x) = 1 и найдите все корни.