Найдите минимальное значеие функции =10х-10in(x+3)+24 на участке [-2.5; 0
Данная функция определена как f(x) = 10x — 10ln(x + 3) + 24. Чтобы найти минимальное значение этой функции на заданном участке [-2.5; 0], нам понадобится использовать метод дифференцирования.
Шаги решения:
1. Сначала возьмем первую производную функции f(x). Для этого нужно применить правило дифференцирования для каждого компонента функции f(x).
2. Дифференцируем первый компонент — 10x. Его производная равна просто 10.
3. Дифференцируем второй компонент — 10ln(x + 3). Применим правило дифференцирования для натурального логарифма. Производная ln(x) равна 1/x, поэтому производная ln(x + 3) равна 1/(x + 3).
4. Так как второй компонент отрицателен, мы получаем отрицательную производную -10/(x + 3).
5. Сложим первую и вторую производные, чтобы найти производную функции f(x): f'(x) = 10 — 10/(x + 3).
6. Затем найдем значения x, при которых производная равна нулю. Для этого приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение: 10 — 10/(x + 3) = 0.
7. Решив это уравнение, мы получим x = -2.
8. Чтобы проверить, является ли x = -2 точкой экстремума (минимума), найдем вторую производную.
9. Дифференцируем f'(x) = 10 — 10/(x + 3). Применяем правило дифференцирования для дроби: d(1/(x + 3))/dx = -1/(x + 3)^2.
10. Значение второй производной f»(x) равно -1/(x + 3)^2.
11. Найдем значение второй производной в точке x = -2. Подставим x = -2 в выражение f»(x): f»(-2) = -1/((-2) + 3)^2 = -1/1 = -1.
12. Если f»(-2) < 0, то x = -2 является точкой минимума функции f(x).
13. Наконец, найдем значение функции f(x) в точке x = -2. Подставим x = -2 в функцию: f(-2) = 10*(-2) — 10ln((-2) + 3) + 24 = -20 — 10ln(1) + 24 = -20 — 10*0 + 24 = 4.
Минимальное значение функции:
Минимальное значение функции равно 4 при x = -2.
Совет:
Для лучшего понимания дифференцирования и нахождения экстремумов функций, рекомендуется ознакомиться с теорией и примерами решений подобных задач. Важно разобраться в применении правил дифференцирования и уметь решать уравнения, чтобы найти точки экстремума.
Практическое упражнение:
Найдите минимальное значение функции g(x) = 2x^2 — 8x + 6 на всей числовой прямой.