Найдите наименьший корень уравнения lg(x-2)tgx=tgx, который удовлетворяет неравенству х^2-10x-24<0

Инструкция: Чтобы решить данное квадратное неравенство, необходимо использовать методы решения квадратных неравенств. В данном случае, мы имеем неравенство вида: x^2 — 10x — 24 0, то уравнение имеет два корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, D = 196, что больше нуля. Значит, уравнение имеет два действительных корня.

Шаг 3: Найдите значения корней уравнения. Используя формулы для нахождения корней квадратного уравнения, получим x₁ = ( -b +√D ) / ( 2a ) и x₂ = ( -b -√D ) / ( 2a ). Подставляя значения a, b, c и D в формулы, получим x₁ = (10 + √196) / 2 = (10 + 14) / 2 = 24 / 2 = 12 и x₂ = (10 — √196) / 2 = (10 — 14) / 2 = -4 / 2 = -2.

Шаг 4: Проверьте значения корней в исходном неравенстве x^2 — 10x — 24 < 0. Для этого, поочередно подставим значения x в неравенство и проверим, выполняется ли оно. Исключаем значения корней, которые не удовлетворяют неравенству.

В нашем случае, проверим значения x = 12 и x = -2. Подставляя x = 12: (12)^2 — 10(12) — 24 = 144 — 120 — 24 = 0. Подставляя x = -2: (-2)^2 — 10(-2) — 24 = 4 + 20 — 24 = 0.

Оба значения удовлетворяют исходному неравенству, так как 0 < 0 не выполняется, значит, выполняется x^2 — 10x — 24 < 0.

Совет: Для успешного решения квадратных неравенств, особенно если есть необходимость проверять значения корней, важно владеть навыками решения квадратных уравнений и понимать логику работы с неравенствами.

Задание для закрепления: Решите неравенство 3x^2 + 2x — 8 > 0.