Найдите решение неравенства: x^2 — 3x — 28/3x ≤ 0

Название: Решение неравенства с использованием квадратного трехчлена

Пояснение: Для решения данного неравенства, мы должны сначала найти корни квадратного трехчлена x^2 — 3x — 28/3x. Корни можно найти путем факторизации или с использованием формулы корней квадратного уравнения. После нахождения корней, мы можем построить таблицу знаков и определить интервалы, для которых неравенство выполняется.

Давайте начнем с нахождения корней:
x^2 — 3x — 28/3x = 0

Умножим оба выражения на 3, чтобы избавиться от дроби:
3(x^2 — 3x — 28/3x) = 0
3x^2 — 9x — 28 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение путем факторизации или использования формулы корней. Поэтому, сначала найдем дискриминант:
D = (-9)^2 — 4 * 3 * (-28)
D = 81 + 336
D = 417

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два различных вещественных корня:
x₁ = (-(-9) + √417) / (2 * 3)
x₁ = (9 + √417) / 6
x₂ = (-(-9) — √417) / (2 * 3)
x₂ = (9 — √417) / 6

Теперь, когда мы знаем значения корней, построим таблицу знаков для определения интервалов, где неравенство выполняется:

      -∞        x₁      x₂       +∞
        |         +       -       |

Исследуем каждый интервал, чтобы найти решение неравенства. Рассмотрим значения в каждом интервале:
— Для интервала (-∞, x₁), значение выражения x^2 — 3x — 28/3x будет положительным, так как все факторы отрицательны.
— Для интервала (x₁, x₂), значение выражения x^2 — 3x — 28/3x будет отрицательным, так как x₁ меньше x₂.
— Для интервала (x₂, +∞), значение выражения x^2 — 3x — 28/3x будет положительным, так как все факторы положительны.

Таким образом, решением неравенства x^2 — 3x — 28/3x ≤ 0 является интервал (-∞, x₁] ∪ [x₂, +∞).

Пример использования: Найдите решение неравенства 2x^2 — 5x — 12/6x ≤ 0.

Совет: Для решения неравенств с квадратными трехчленами, всегда начинайте с нахождения корней и построения таблицы знаков. Это поможет легче определить интервалы, для которых неравенство выполняется.

Упражнение: Найдите решение неравенства 3x^2 + 2x — 8/4x ≥ 0.