Найти интеграл функции 3*2+x^2+(4x-16)dx/3 от корня уравнения x^2-3x+2

Описание:
Для расчета интеграла функции, содержащей корень квадратного уравнения, мы должны использовать метод подстановки. Этот метод позволяет заменить пределы интегрирования и саму функцию с использованием переменной, связанной с корнем уравнения. В данной задаче, корни квадратного уравнения x^2-3x+2 равны x=1 и x=2.

Давайте проведем замену переменной.

Пусть u = x — 1. Тогда dx = du.

Заменим пределы интегрирования:
Когда x=1, то u=0.
Когда x=2, то u=1.

Теперь мы можем заменить все в исходном интеграле:
∫(3*2 + x^2 + (4x-16))dx/3 = ∫(3*2 + (u+1)^2 + (4(u+1)-16))(du/3) = ∫((3*2 + u^2 + 2u + 1 + 4u + 4 — 16))(du/3) = ∫((u^2 + 6u — 9))(du/3).

Теперь мы можем интегрировать полученную функцию (u^2 + 6u — 9):
∫((u^2 + 6u — 9))(du/3) = (1/3) * ∫(u^2 + 6u — 9) du.

Проинтегрировав, мы получим:
(1/3) * ((u^3)/3 + 3u^2 — 9u) + C,
где C — постоянная интегрирования.

Теперь, заменив обратно u на x — 1, получим окончательный ответ:
(1/9) * ((x-1)^3 + 9(x-1)^2 — 27(x-1)) + C.

Пример использования: Вычислите интеграл функции F(x) = 3x^2 + x^2 + (4x — 16)dx/3 от корня уравнения x^2-3x+2.

Совет: При использовании метода подстановки, важно правильно выбрать переменную для замены. В данном случае мы использовали u = x — 1, чтобы упростить интегрирование и убрать корень квадратного уравнения.

Упражнение: Найдите интеграл функции F(x) = 2x^3 — 5x^2 + 3x — 1dx от корня уравнения x^2 — 2x + 1.