Найти коэффициенты разложения x, y и z для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, где точка K принадлежит отрезку B1C1 так, что KC1
Объяснение:
Чтобы найти коэффициенты разложения x, y и z для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, вам понадобится использовать понятие векторного умножения и соотношение между отрезками в параллелограмме.
Перед тем как начать, давайте обозначим векторы AB, AD и AA1 как a, b и c, соответственно. Также пусть точка K имеет координаты (x, y, z), а точки B1 и C1 имеют координаты (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно.
Затем мы используем пропорциональное соотношение, основанное на отношении длин отрезков в параллелограмме. Поскольку KC1 делится в отношении 3:1, мы можем записать следующее:
(x — x1)/(x2 — x) = 3/1
(y — y1)/(y2 — y) = 3/1
(z — z1)/(z2 — z) = 3/1
Теперь, применяя умножение крест-накрест, мы можем выразить x, y и z:
(x — x1) = 3(x2 — x)
(y — y1) = 3(y2 — y)
(z — z1) = 3(z2 — z)
Раскрыв скобки, мы получим систему уравнений для x, y и z:
4x = x1 + 3×2
4y = y1 + 3y2
4z = z1 + 3z2
Это и есть коэффициенты разложения x, y и z для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Пример использования:
Допустим, у нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с координатами:
A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9), D(10, 11, 12)
A1(13, 14, 15), B1(16, 17, 18), C1(19, 20, 21), D1(22, 23, 24)
Мы хотим найти коэффициенты разложения x, y и z для точки K на отрезке B1C1, где KC1 = 3:1.
Подставляя значения в нашу систему уравнений, получим:
4x = 16 + 3(19)
4y = 17 + 3(20)
4z = 18 + 3(21)
Поэтому коэффициенты разложения для точки K будут:
x = 14.5
y = 16
z = 17.5
Совет:
Для более легкого понимания задачи, можно представить параллелепипед и провести линию, соединяющую точки B1 и C1. Визуализация поможет вам увидеть, как отрезок KC1 делится в соотношении 3:1. Использование конкретных чисел в примере также может помочь вам лучше понять процесс.
Задание для закрепления:
У нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с координатами:
A(1, 1, 1), B(4, 5, 3), C(7, 2, 6), D(9, 8, 7)
A1(3, 4, 5), B1(6, 7, 8), C1(10, 11, 12), D1(13, 14, 15)
Найдите коэффициенты разложения x, y и z для точки K на отрезке B1C1, где KC1 = 5:2.