Найти координаты (a;b) вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) в матрице A=(2,−1; 1,2) перехода от базиса (e¯1;e¯2) к базису (e¯1;e¯2

Объяснение: Для решения данной задачи нам необходимо найти координаты вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) в матрице A=(2,−1; 1,2).

Для этого мы должны использовать формулу изменения координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Формула имеет вид [x]ₑ∗=P⁻¹[x]ₑ, где [x]ₑ∗ — новые координаты вектора, [x]ₑ — старые координаты вектора, и P — матрица перехода от старого базиса к новому. В нашем случае, старый базис состоит из векторов e¯1 и e¯2, а новый базис — из векторов e¯∗1 и e¯∗2.

Подставим значения в формулу и решим задачу. Первоначально координаты вектора e¯1 в старом базисе (e¯1;e¯2) равны (1, 0). Матрица перехода P равна A=(2,−1; 1,2).

P⁻¹ = (2, 1; -1, 2)
[x]ₑ = (1, 0)

Умножим матрицу P⁻¹ на вектор [x]ₑ:
(2, 1; -1, 2) * (1, 0) = (2*1 + 1*0, -1*1 + 2*0) = (2, -1)

Таким образом, новые координаты вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) равны (2, -1).

Пример использования: Для данной задачи, координаты (a;b) вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) в матрице A=(2,−1; 1,2) равны a=2 и b=-1.

Совет: Для лучшего понимания материала по векторам и базисам рекомендуется изучить формулы изменения координат векторов при переходе от одного базиса к другому и попрактиковаться в решении подобных задач.

Упражнение: Найдите координаты (a;b) вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) в матрице B=(-1,3; 2,-4) перехода от базися (e¯1;e¯2) к базису (e¯1;e¯2).