Найти минимальное значение выражения y=1/3x√x-6x+70 на интервале [5; 581
Найти минимальное значение выражения y=1/3x√x-6x+70 на интервале [5; 581].
Тема: Минимальное значение квадратного выражения
Объяснение: Чтобы найти минимальное значение данного квадратного выражения y, нужно найти точку экстремума. Начнем с нахождения производной выражения, и приравняем его к нулю для определения критических точек. Производной этого выражения является y’ = (1/3) * (x * √x)’ — (6x)’ + (70)’ = (1/3) * (1.5 * x^(1/2) + 0.5 * x^(-1/2)) — 6 + 0. В результате, уравнение примет вид (1/3) * (1.5 * x^(1/2) + 0.5 * x^(-1/2)) — 6 = 0.
Решив данное уравнение, мы получим две критические точки: x = 1 и x = 144. Чтобы определить, является ли каждая из этих точек локальным минимумом или максимумом, можно использовать вторую производную тестирование. Если вторая производная является положительной на интервале [5; 581], то это будет минимальное значение. Взятие второй производной y» = (1/3) * (1.5 * (x^(-1/2) + 0.25 * x^(-3/2)) дает нам положительное значение для каждой точки.
Поэтому, минимальное значение y = 1/3 * 1 * √1 — 6 * 1 + 70 = 65 достигается при x = 1 и y = 1/3 * 12 * √144 — 6 * 144 + 70 = -952 при x = 144.
Совет: Для более легкого понимания этой темы рекомендуется изучить основы алгебры, преобразование выражений и используемые математические функции.
Упражнение: Найдите минимальное значение выражения z = 2x^2 + 5x — 3 на интервале [-3; 4].
Объяснение: Чтобы найти минимальное значение данного квадратного выражения y, нужно найти точку экстремума. Начнем с нахождения производной выражения, и приравняем его к нулю для определения критических точек. Производной этого выражения является y’ = (1/3) * (x * √x)’ — (6x)’ + (70)’ = (1/3) * (1.5 * x^(1/2) + 0.5 * x^(-1/2)) — 6 + 0. В результате, уравнение примет вид (1/3) * (1.5 * x^(1/2) + 0.5 * x^(-1/2)) — 6 = 0.
Решив данное уравнение, мы получим две критические точки: x = 1 и x = 144. Чтобы определить, является ли каждая из этих точек локальным минимумом или максимумом, можно использовать вторую производную тестирование. Если вторая производная является положительной на интервале [5; 581], то это будет минимальное значение. Взятие второй производной y» = (1/3) * (1.5 * (x^(-1/2) + 0.25 * x^(-3/2)) дает нам положительное значение для каждой точки.
Поэтому, минимальное значение y = 1/3 * 1 * √1 — 6 * 1 + 70 = 65 достигается при x = 1 и y = 1/3 * 12 * √144 — 6 * 144 + 70 = -952 при x = 144.
Совет: Для более легкого понимания этой темы рекомендуется изучить основы алгебры, преобразование выражений и используемые математические функции.
Упражнение: Найдите минимальное значение выражения z = 2x^2 + 5x — 3 на интервале [-3; 4].