Найти значение выражения: 1)сos8a+сos6a+2sin5asin3a, если сosa=1/√3 2)сos6x+сos8x+2sin3x*sin5x, если сosx=−√3/3
Описание: Для нахождения значения выражений, содержащих функции тригонометрии, необходимо заменить все тригонометрические переменные заданными значениями и выполнить вычисления.
1) Дано: сosа = 1/√3.
Заменим сosa в данном выражении на 1/√3:
сos8a + сos6a + 2sin5asin3a = сos(8a) + сos(6a) + 2sin(5a)sin(3a)
Применяя тригонометрические формулы, получим:
сos(8a) = cos(3a + 5a) = cos(3a)cos(5a) — sin(3a)sin(5a)
сos(6a) = cos(3a + 3a) = cos(3a)cos(3a) — sin(3a)sin(3a)
подставим эти значения в исходное выражение:
cos(3a)cos(5a) — sin(3a)sin(5a) + cos(3a)cos(3a) — sin(3a)sin(3a) + 2sin(5a)sin(3a)
Упрощаем выражение:
2cos(3a)cos(3a) + cos(3a)cos(5a) + 2sin(5a)sin(3a)
Теперь заменим cos(3a) и sin(5a) на заданные значения:
2*(1/√3)*(1/√3) + (1/√3)*(1/2) + 2*(1/2)*(1/√3)
Упрощаем и вычисляем:
2/3 + 1/2√3 + √3/3
Общий знаменатель: 6√3.
Получаем: (4 + 3√3 + 2√3) / 6√3
2) Дано: cosx = −√3/3.
Следуя тому же принципу, заменим cosx и проведем необходимые вычисления:
cos6x + cos8x + 2sin3x*sin5x = cos(6x) + cos(8x) + 2sin(3x)sin(5x)
Используем тригонометрические формулы:
cos(6x) = cos(3x + 3x) = cos(3x)cos(3x) — sin(3x)sin(3x)
cos(8x) = cos(3x + 5x) = cos(3x)cos(5x) — sin(3x)sin(5x)
Подставляем значения и упрощаем:
cos(3x)cos(3x) — sin(3x)sin(3x) + cos(3x)cos(5x) — sin(3x)sin(5x) + 2sin(3x)sin(5x)
Упрощаем дальше:
2cos(3x)cos(3x) + cos(3x)cos(5x) + 2sin(3x)sin(5x)
Заменяем cos(3x) и sin(5x):
2*(−√3/3)*(−√3/3) + (−√3/3)*(1/2) + 2*(1/2)*(√3/3)
Здесь также приводим выражение к общему знаменателю и вычисляем:
2/3 + √3/6 + √3/3
Общий знаменатель: 6.
Получаем: (4 + √3 + 2√3) / 6
Совет: Для лучшего понимания вычисления тригонометрических выражений с заданными значениями рекомендуется изучить основные тригонометрические формулы, такие как формулы сложения, разности, удвоения и половинного угла. Помимо этого, тренировка решения задач с использованием этих формул поможет улучшить понимание тригонометрии.
Практика: Найдите значение выражения: cos(4a) + sin(4a), если sin(a) = 3/5 и cos(a) = 4/5.