Периметр квадрата ABCD составляет 32, O — точка пересечения диагоналей. Найти: 1. Длину диагонали 2. Радиус описанной
1. Длину диагонали
2. Радиус описанной окружности
3. Радиус вписанной окружности
4. Расстояние от B до середины DC
5. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей
6. Синус угла AOD
7. Тангенс угла OBC
8. Косинус угла AOB
9. Точка L принадлежит отрезку BC, отношение CL к LB равно 1:3, прямая AL пересекает DC в точке N. Найти: длины отрезков CN, LN, косинус угла BLN и площадь треугольника LCN
10. Точка Z принадлежит отрезку AD, точка R принадлежит отрезку AD; отношение DZ к ZR к RA равно 1:2:1, прямая CR пересекает отрезок AB в точке Q, прямая CZ пересекает отрезок AB в точке H. Найти: расстояние от точки Q до точки ZH и площадь четырехугольника GRZH
11. На стороне BC построен равносторонний треугольник BKC (K не принадлежит ABCD), прямая CK пересекает отрезок AD в точке P. Найти: периметр четырехугольника ABKP и площадь треугольников ACP и DKC
12. Точка G принадлежит отрезку AB, точка J принадлежит отрезку BC, точка U принадлежит отрезку AD; отношение AG к AB равно 1:2, отношение BJ к JC равно 1:7, отношение DU к AD равно 7:8. Найти: длины диагоналей четырехугольника JDUG, синус острого угла между ними, косинус угла G и площадь
13. На сторонах BC и CD построены равносторонние треугольники BKC и EDC соответственно (K, E не принадлежат ABCD). Найти: периметр треугольника OEK и площадь треугольника AEK.
Описание:
1. Длина диагонали квадрата можно найти, используя теорему Пифагора. Поскольку квадрат имеет равные стороны, длина одной стороны равна 32/4 = 8. Таким образом, длина диагонали равна √(8² + 8²) = √128 = 8√2.
2. Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали квадрата. Так как длина диагонали 8√2, радиус описанной окружности равен 8√2/2 = 4√2.
3. Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны квадрата. Так как сторона квадрата равна 8, радиус вписанной окружности равен 8/2 = 4.
4. Чтобы найти расстояние от точки B до середины DC, можно использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагональ параллелограмма делит его на две равные части. Поэтому расстояние от B до середины DC равно половине стороны квадрата, то есть 8/2 = 4.
5. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно разности радиусов этих окружностей. Таким образом, расстояние между центрами равно (4√2) — 4 = 4(√2 — 1).
6. Синус угла AOD можно найти, используя определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе. Угол AOD — прямой угол, поэтому синус этого угла равен 1.
7. Тангенс угла OBC можно найти, используя определение тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему катету. Угол OBC — прямой угол, поэтому тангенс этого угла равен 0.
8. Косинус угла AOB можно найти, используя определение косинуса как отношения прилежащего катета к гипотенузе. Угол AOB — прямой угол, поэтому косинус этого угла равен 0.
Пример использования:
1. Длина диагонали квадрата ABCD равна 8√2.
2. Радиус описанной окружности равен 4√2.
3. Радиус вписанной окружности равен 4.
4. Расстояние от точки B до середины DC равно 4.
5. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно 4(√2 — 1).
6. Синус угла AOD равен 1.
7. Тангенс угла OBC равен 0.
8. Косинус угла AOB равен 0.
Совет: Чтобы лучше понять свойства и формулы, связанные с квадратами и окружностями в геометрии, полезно регулярно решать задачи и проводить практические упражнения. Также полезно запомнить основные свойства квадрата, формулы для нахождения периметра, площади, диагоналей, окружностей и других характеристик.
Упражнение: Найти площадь квадрата, сторона которого равна 12.