Постройте график функции y=x^2-6x+3 и найдите на нем следующее: а) корни функции; б) интервалы, на

a) Корни функции:
Чтобы найти корни функции, необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное квадратное уравнение. Для нашей функции y=x^2-6x+3, подставляем y=0 и решаем уравнение:
x^2-6x+3=0

Можно воспользоваться квадратным корнем или дискриминантом, чтобы найти корни уравнения. Здесь воспользуемся дискриминантом, который равен D=b^2-4ac.
D=(-6)^2-4(1)(3)=36-12=24.

Так как дискриминант положительный, то у нас есть два корня. Формула для нахождения корней: x=(-b±√D)/2a.
x=(-(-6)±√24)/2(1)= (6±√24)/2 = (6±2√6)/2 = 3±√6.

Таким образом, корни функции y=x^2-6x+3 равны x=3+√6 и x=3-√6.

б) Интервалы, на которых y=0 и на которых y>0:
Чтобы найти интервалы, на которых y равна нулю или больше нуля, нужно рассмотреть знаки функции между корнями. Так как у нас есть два корня: x=3+√6 и x=3-√6, разбиваем число x на три интервала: (-∞,3-√6), (3-√6,3+√6) и (3+√6,+∞). Подставляем в функцию произвольные значения из каждого интервала, чтобы определить знак функции на этих интервалах.

Подставляем x=-1: y=(-1)^2-6(-1)+3=1+6+3=10 > 0 (функция положительна на интервале (-∞,3-√6)).
Подставляем x=3: y=3^2-6(3)+3=9-18+3=-6 < 0 (функция отрицательна на интервале (3-√6,3+√6)).
Подставляем x=5: y=5^2-6(5)+3=25-30+3=-2 < 0 (функция отрицательна на интервале (3+√6,+∞)).

Таким образом, на интервале (-∞,3-√6) функция положительна, на интервале (3-√6,3+√6) функция отрицательна, а на интервале (3+√6,+∞) функция также отрицательна.

в) Интервалы, на которых функция возрастает и убывает:
Для определения интервалов возрастания и убывания функции, анализируем производную функции. Производная от функции y=x^2-6x+3 равна y’=2x-6. Для определения интервалов, где функция возрастает и убывает, необходимо рассмотреть знак производной.

Так как производная равна y’=2x-6, то она будет положительна, когда 2x-6>0, т.е. x>3. То есть, функция возрастает на интервале (3,+∞).
Также, производная будет отрицательной, когда 2x-6<0, т.е. x<3. То есть, функция убывает на интервале (-∞,3).

г) Минимальное значение функции:
Минимальное значение функции можно найти в вершине (экстремуме) параболы. Парабола, заданная функцией y=x^2-6x+3, имеет ветви направленные вверх, поэтому есть минимальное значение.

Чтобы найти координаты вершины, используем формулы для нахождения абсциссы x_вершины=-b/2a и ординаты y_вершины=f(x_вершины).
x_вершины=-(-6)/2(1)=6/2=3.
y_вершины=(3)^2-6(3)+3=9-18+3=-6.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (3,-6), а минимальное значение функции y=x^2-6x+3 равно -6.

Суммируя:

a) Корни функции: x=3+√6 и x=3-√6.
б) Интервалы, на которых y=0 и на которых y>0:
— (-∞,3-√6) — функция положительна,
— (3-√6,3+√6) — функция отрицательна,
— (3+√6,+∞) — функция отрицательна.
в) Интервалы, на которых функция возрастает и убывает:
— возрастает на (3,+∞),
— убывает на (-∞,3).
г) Минимальное значение функции: y=-6.

Упражнение: Постройте график функции y=x^2-4x+4 и найдите на нем корни функции, интервалы, на которых y>0 и y<0, интервалы, на которых функция возрастает и убывает, и минимальное значение функции.