Решить: 1. Найти точки экстремума для функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213. 2. Найти максимальное и минимальное

1. Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 72x — 213, сначала найдем производную функции f'(x). Производная функции f'(x) позволяет нам найти точки, в которых функция имеет экстремумы. Вычислим производную функции:
f'(x) = 6x^2 + 6x — 72.

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение:
6x^2 + 6x — 72 = 0.

Решим это уравнение с помощью факторизации:
6(x^2 + x — 12) = 0,
6(x + 4)(x — 3) = 0.

Из этого уравнения получаем два значения x: x = -4 и x = 3.

Далее подставляем найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = -4: f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 — 72(-4) — 213 = -431.
Для x = 3: f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 — 72(3) — 213 = -111.

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 72x — 213 находятся в точках (-4, -431) и (3, -111).

2. Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции y = x^3 — 9x^2 + 24x — 15 на интервале [1;3], мы сначала найдем критические точки функции на этом интервале. Это могут быть точки экстремума или точки, где производная обращается в нуль. Из предыдущего задания мы уже знаем, что точки экстремума находятся при x = -4 и x = 3. Проверим производную функции на интервале [1;3]:
f'(x) = 3x^2 — 18x + 24.

Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 — 18x + 24 = 0.

Решив это уравнение, мы получим одну критическую точку x = 2.

Теперь осталось только подставить значения концов интервала и критической точки в исходную функцию и найти соответствующие значения y:
Для x = 1: f(1) = 1^3 — 9(1)^2 + 24(1) — 15 = 1 — 9 + 24 — 15 = 1.
Для x = 2: f(2) = 2^3 — 9(2)^2 + 24(2) — 15 = 8 — 36 + 48 — 15 = 5.
Для x = 3: f(3) = 3^3 — 9(3)^2 + 24(3) — 15 = 27 — 81 + 72 — 15 = 3.

Таким образом, на интервале [1;3] максимальное и минимальное значение функции y = x^3 — 9x^2 + 24x — 15 равны соответственно 5 и 1.

3. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x^2 — 4x — 2 в точке с x-координатой x0 = -1, нужно найти значение производной функции f'(x) в данной точке и использовать его в уравнении прямой. Производная функции f'(x) равна:
f'(x) = 6x — 4.

Подставим x = -1 в формулу f'(x), чтобы получить значение производной в данной точке:
f'(-1) = 6(-1) — 4 = -6 — 4 = -10.

Получившееся значение (-10) является коэффициентом наклона касательной к графику функции в точке (-1, f(-1)). Теперь, используя это значение и координаты точки (-1, f(-1)), мы можем записать уравнение касательной:
y — f(-1) = -10(x + 1).

Далее преобразуем это уравнение, чтобы получить окончательный ответ:
y — f(-1) = -10x — 10,
y = -10x — 10 + f(-1).

Это и есть уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x^2 — 4x — 2 в точке с x-координатой x0 = -1.

4. Чтобы найти площадь петлевидной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = 2x^2 + x и прямыми x = 0 и x = 1, нужно вычислить определенный интеграл от функции f(x) на заданном интервале и найти разность между значениями интеграла под графиком и интеграла над графиком.

Найдем значения функции при x = 0 и x = 1:
При x = 0: f(0) = 2(0)^2 + 0 = 0.
При x = 1: f(1) = 2(1)^2 + 1 = 3.

Теперь найдем значения интеграла под графиком функции f(x) на интервале [0, 1]:
∫[0;1] f(x) dx = ∫[0;1] (2x^2 + x) dx.

Найдем первообразную функции f(x):
F(x) = (2/3)x^3 + (1/2)x^2.

Теперь вычислим значения интеграла под графиком:
∫[0;1] f(x) dx = F(1) — F(0) = ((2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2) — ((2/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2) = 5/6.

Также найдем значения интеграла над графиком:
∫[0;1] (-f(x)) dx = ∫[0;1] -(2x^2 + x) dx = -∫[0;1] (2x^2 + x) dx = -5/6.

Наконец, найдем площадь петлевидной трапеции, вычитая значение интеграла над графиком из значения интеграла под графиком:
Площадь = |∫[0;1] f(x) dx — ∫[0;1] (-f(x)) dx| = |(5/6) — (-5/6)| = |5/6 + 5/6| = |10/6| = 5/3.

Таким образом, площадь петлевидной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = 2x^2 + x и прямыми x = 0 и x = 1, равна 5/3.

5. Для нахождения значения первообразной функции F(x) = 4x^3 + 2x при x = 2 при условии, что она принимает значение 25 при x = 1, проинтегрируем функцию f(x) = 4x^3 + 2x. Возьмем неопределенный интеграл этой функции:
∫(4x^3 + 2x) dx = (4/4)x^4 + (2/2)x^2 + C,
∫(4x^3 + 2x) dx = x^4 + x^2 + C.

Получили общую первообразную функции. Теперь подставим значения x = 2 и x = 1:
При x = 2: F(2) = 2^4 + 2^2 + C = 16 + 4 + C = 20 + C.
При x = 1: F(1) = 1^4 + 1^2 + C = 1 + 1 + C = 2 + C.

Учитывая, что F(1) = 25, мы можем записать уравнение:
2 + C = 25.

Отсюда находим значение постоянной C:
C = 25 — 2 = 23.

Теперь, зная значение постоянной C, мы можем найти значение первообразной функции F(x) = 4x^3 + 2x при x = 2:
F(2) = 20 + C = 20 + 23 = 43.

Таким образом, значение первообразной функции F(x) = 4x^3 + 2x при x = 2 равно 43, при условии, что она принимает значение 25 при x = 1.