Решить задачу, которая изображена на фото. Руководитель небольшой компании разработал план производства продукции на
Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти оптимальное количество продукции для максимизации доходов компании.
По условию, годовые производственные затраты (у) определяются следующей формулой: у = 0,05х^2 + х + 2, где «х» — количество продукции, измеряемое в тысячах единиц.
Однако, у нас есть ограничение — производственные мощности предприятия позволяют выпускать не более 20,000 единиц продукции в год.
Цена за единицу продукции составляет 3,000 рублей.
Для максимизации доходов, нам нужно найти количество продукции, которое обеспечит максимальную разницу между выручкой и затратами.
Для этого, найдем производные функций, чтобы найти точку максимума:
Получим первую производную функции доходов:
у’ = 0,1х + 1.
Приравняем первую производную к нулю и найдем х:
0,1х + 1 = 0.
0,1х = -1.
х = -10.
Однако, количество продукции не может быть отрицательным, поэтому мы не можем использовать этот результат.
Теперь проверим границы: x = 0 и x = 20.
При x = 0:
у(0) = 0,05*0^2 + 0 + 2 = 2.
При x = 20:
у(20) = 0,05*20^2 + 20 + 2 = 42.
Таким образом, максимальная прибыль будет достигаться при выпуске 20,000 единиц продукции в год.
Пример использования:
Ежегодные производственные затраты компании составляют 0,05х^2 + х + 2 миллиона рублей, где «х» — количество продукции. Компания может выпускать не более 20,000 единиц продукции в год. Какое количество продукции компания должна производить для максимизации доходов?
Совет:
Для решения задач, связанных с максимизацией или минимизацией функций, всегда стоит брать производные функций и искать точки экстремума, а затем проверять эти точки и границы.
Дополнительное задание:
Предположим, что цена за единицу продукции увеличилась до 4,000 рублей. Как изменится оптимальное количество продукции для максимизации доходов компании?