Сергей разделил некоторое натуральное число на 6, затем на 7 и на 8. В каждом случае он получил остаток, сумма

Инструкция: Для решения этой задачи требуется использовать метод Китая. Метод Китая — это метод, который позволяет решить систему уравнений вида:

x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
…
x = ak mod nk

где a1, a2, …, ak и n1, n2, …, nk — целые числа, а n1, n2, …, nk — попарно взаимно простые числа.

Для решения задачи необходимо составить систему уравнений:

x = 0 mod 6
x = 1 mod 7
x = 2 mod 8

Сумма остатков равна 18, поэтому:

0 + 1 + 2 = 3 mod 18

Теперь мы можем записать систему уравнений вида:

x = 3 mod 18
x = 0 mod 6
x = 1 mod 7
x = 2 mod 8

Чтобы решить эту систему уравнений методом Китая, мы будем последовательно решать пары уравнений. Сначала решим пару уравнений:

x = 3 mod 18
x = 0 mod 6

Для этого мы можем воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида и найти такие числа u и v, что:

18u + 6v = 1

Затем умножим обе части первого уравнения на 6v и обе части второго уравнения на 18u:

6vx = 18u + 3t
18uy = 6v + 0

где t — некоторое целое число. Подставим выражение для 6v из второго уравнения в первое:

6vx = 18u + 3t
6vx = 18u + 3t + 18uy

Сократим 6v:

x = 3u + t + 3uy

Теперь мы можем решить следующую пару уравнений:

x = 3u + t + 3uy
x = 1 mod 7

Для этого мы можем воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида и найти такие числа u и v, что:

21u + 7v = 1

Затем умножим обе части первого уравнения на 7v и обе части второго уравнения на 21u:

7vx = 21u + t + 3uy
21uy = 7v + 1

где t — некоторое целое число. Подставим выражение для 7v из второго уравнения в первое:

7vx = 21u + t + 3uy
7vx = 21u + t + 3uy + 21uy

Сократим 7v:

x = 3u + t