В учебной группе имеется 15 молодых людей и 10 девушек. При случайном выборе 6 человек из группы, найдите вероятности
a = {среди выбранных делегатов только молодые люди},
b = {среди выбранных делегатов ровно по половине молодых людей и девушек},
c = {девушки составляют большинство среди выбранных делегатов},
d = {среди выбранных делегатов хотя бы один молодой человек}.
Объяснение:
Для решения этой задачи нам необходимо использовать понятия комбинаторики и вероятности.
a) Для события a мы должны выбрать всех 6 делегатов из 15 молодых людей. Всего возможных комбинаций выбора 6 человек из 15 равно C(15, 6), где С(n, k) обозначает количество сочетаний из n элементов по k. Таким образом, вероятность события a составляет P(a) = C(15, 6) / C(25, 6).
b) Для события b нам нужно выбрать 3 молодых людей и 3 девушек из группы. Количество сочетаний выбора 3 молодых людей из 15 равно C(15, 3), а количество сочетаний выбора 3 девушек из 10 равно C(10, 3). Общее количество возможных комбинаций выбора 6 человек из группы равно C(25, 6). Таким образом, вероятность события b равна P(b) = (C(15, 3) * C(10, 3)) / C(25, 6).
c) Для события c нам необходимо выбрать большинство девушек из выбранных делегатов. Мы можем выбрать 4, 5 или 6 девушек из 10. Таким образом, вероятность события c можно выразить как P(c) = (C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) / C(25, 6).
d) Для события d нам нужно выбрать хотя бы одного молодого человека из группы. Это означает, что мы должны выбрать молодого человека или нескольких молодых людей из доступных 15 молодых. Количество комбинаций выбора хотя бы одного молодого человека из 15 равно C(15, 1) + C(15, 2) + … + C(15, 6). Общее количество возможных комбинаций выбора 6 человек из группы составляет C(25, 6). Значит, вероятность события d равна P(d) = (C(15, 1) + C(15, 2) + … + C(15, 6)) / C(25, 6).
Пример использования:
а) P(a) = C(15, 6) / C(25, 6) = (15! / (6! * (15-6)!)) / (25! / (6! * (25-6)!)) ≈ 0.251
b) P(b) = (C(15, 3) * C(10, 3)) / C(25, 6) = (15! / (3! * (15-3)!)) * (10! / (3! * (10-3)!)) / (25! / (6! * (25-6)!)) ≈ 0.268
c) P(c) = (C(10, 4) + C(10, 5) + C(10, 6)) / C(25, 6) = ((10! / (4! * (10-4)!)) + (10! / (5! * (10-5)!)) + (10! / (6! * (10-6)!))) / (25! / (6! * (25-6)!)) ≈ 0.806
d) P(d) = (C(15, 1) + C(15, 2) + … + C(15, 6)) / C(25, 6) = ((15! / (1! * (15-1)!)) + (15! / (2! * (15-2)!)) + … + (15! / (6! * (15-6)!))) / (25! / (6! * (25-6)!)) ≈ 0.969
Совет:
Для понимания комбинаторики лучше всего изучать сочетания и перестановки, так как эти понятия являются основой для решения задач по вероятности.
Практика:
В классе из 20 учащихся 12 старшеклассников и 8 младшеклассников. Случайным образом выбираются 3 ученика. Найдите вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один старшеклассник.