Яка площа повної поверхні циліндра, якого діагональ перерізу дорівнює 8 см і утворює кут 60° з площиною основи
Пояснення:
Для розв’язання цієї задачі необхідно спочатку знайти висоту циліндра. Висота циліндра визначає відстань від осі циліндра до площини перерізу. У нашому випадку, ця відстань дорівнює 3 см.
Діагональ перерізу циліндра має довжину 8 см та утворює кут 60° з площиною основи. Цю діагональ можна розділити на два вектори: один паралельно осі циліндра інший — перпендикулярно площині основи. Дано, що відстань від осі циліндра до площини перерізу дорівнює 3 см, тому одна з компонент вектора дорівнює 3 см.
Щоб знайти другу компоненту вектора, можна використати трикутник, утворений діагоналлю, висотою і відрізком, який представляє другу компоненту.
Утворюючи прямокутний трикутник, можна застосувати теорему Піфагора:
(8^2 = 3^2 + b^2), де (b) — друга компонента вектора.
Отже, (b^2 = 64 — 9 = 55)
(b = sqrt{55})
Тепер ми можемо обчислити висоту циліндра, використовуючи трикутник:
(h = sqrt{3^2 + (sqrt{55})^2} = sqrt{9 + 55} = sqrt{64} = 8)
Тепер можна обчислити площу поверхні циліндра, використовуючи формулу:
(S = 2pi r^2 + 2pi rh), де (r) — радіус циліндра.
Виразимо радіус циліндра через діаметр, який можна знайти, враховуючи, що діагональ — це діаметр циліндра.
(d = 8) (діагональ циліндра)
(r = frac{d}{2} = frac{8}{2} = 4) (радіус циліндра)
Помістивши значення радіусу (r) і висоту (h) у формулу площі поверхні циліндра, отримаємо:
(S = 2pi (4)^2 + 2pi (4)(8))
(S = 32pi + 64pi)
(S = 96pi)
Таким чином, площа повної поверхні циліндра дорівнює (96pi) квадратних одиниць.
Приклад використання:
Задача: Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу дорівнює 10 см і утворює кут 45° з площиною основи, а відстань від осі циліндра до площини перерізу дорівнює 5 см.
Вихідні дані:
Діагональ перерізу циліндра: 10 см
Кут між діагоналлю та площиною основи: 45°
Відстань від осі до площини перерізу: 5 см.
Рішення:
1. Знайти другу компоненту вектора (перпендикулярного площині основи) за допомогою теореми Піфагора.
2. Обчислити висоту циліндра, використовуючи значення з попереднього кроку.
3. Підставити значення радіусу і висоти в формулу площі поверхні циліндра для обчислення остаточного результату.
4. Отримати відповідь.
Адвіс:
Для розв’язання задачі про площу поверхні циліндра з відхиленою діагоналлю корисними можуть бути знання про трикутники, геометрію та формули для площі та об’єму циліндра. Ваше розуміння основних формул та застосування деяких геометричних принципів допоможе вам дійти правильної відповіді. Пам’ятайте, що детальне розуміння геометричних принципів і прийомів допоможе вам ефективно розв’язувати задачі цього типу.
Вправа:
Завдання: Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу циліндра дорівнює 12 см, утворюючи кут 30° з площиною основи, а відстань від осі циліндра до площини перерізу дорівнює 4 см.
Вихідні дані:
Діагональ перерізу циліндра: 12 см
Кут між діагоналлю та площиною основи: 30°
Відстань від осі до площини перерізу: 4 см.