Заполните пробелы. Докажите, что для n = 57, утверждение (*) верно. Пусть утверждение (*) верно для n
Объяснение: В данной задаче требуется доказать утверждение (*) методом математической индукции.
Дано, что утверждение (*) верно для n = k, то есть число 39k + 18 кратно 19. Нам нужно доказать, что утверждение (*) верно также для n = k + 1. Для этого рассмотрим выражение 39(k + 1) + 18.
Применяя алгебраические действия, приведем это выражение к виду (39k • 39) + 18 = (39k • 38) + (39k + 18).
Заметим, что первое слагаемое (39k • 38) кратно 19 в силу предположения индукции, поскольку предыдущее число k кратно 19.
Теперь рассмотрим второе слагаемое (39k + 18). Мы знаем, что (39k + 18) также кратно 19 в силу предположения индукции, так как число k кратно 19.
Таким образом, мы доказали, что выражение 39(k + 1) + 18 кратно 19.
Так как утверждение (*) верно для n = k + 1, а также предположение верно для n = k, то в силу принципа математической индукции утверждение «число 39n + 18 кратно 19» верно для любого n.
Совет: При доказательстве методом математической индукции обратите внимание на корректность начального предположения и индуктивного шага. Также помните, что индуктивное доказательство может потребовать приведения выражений к более удобному виду или применения алгебраических преобразований.
Упражнение: Докажите, что для n = 8, утверждение (*) верно.