Знайдіть всі проміжки, де функція у = 2х-x² монотонна, а також її точки екстремуму та значення

Инструкция: Для решения данной задачи необходимо исследовать функцию у = 2х-x² на монотонность и наличие экстремумов.

1. Шаг: Найдем производную функции: у’ = 2 — 2х.
2. Шаг: Исследуем знак производной в разных интервалах.
а) Когда у’ > 0, функция возрастает.
б) Когда у’ < 0, функция убывает.

Теперь рассмотрим основные этапы решения задачи:

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью Ox, приравняв y к нулю:
2х — x² = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: х₁ = 0 и х₂ = 2.

2. Далее найдем значения функции у в найденных точках у = 2х — x²:
Для х₁ = 0: y₁ = 2·0 — 0² = 0.
Для х₂ = 2: y₂ = 2·2 — 2² = 4 — 4 = 0.

Теперь проанализируем знак производной у = 2 — 2х в интервалах между корнями:

1. Когда 0 < х < 2, у' = 2 — 2х 2, у’ = 2 — 2х > 0, то есть функция возрастает.

Таким образом:
— В промежутке (-∞, 0) функция у = 2х — x² убывает.
— В промежутке (0, 2) функция у = 2х — x² убывает.
— В промежутке (2, +∞) функция у = 2х — x² возрастает.

Точка х₁ = 0 является точкой максимума с значением у₁ = 0, а точка х₂ = 2 — точкой минимума с значением у₂ = 0.

Совет: Для лучшего понимания исследования функций, рекомендуется изучить основные понятия и методы математического анализа, такие как производная и экстремумы функций.

Задание: Исследуйте функцию f(x) = x³ — 3x² + 2x на монотонность и найдите точки экстремума и их значения.